Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-2;2)$ và $B(2;2;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $A(1;-2;2)$, $B(2;2;1)$, $\overrightarrow{AB}=(1;4;-1)$, $AB=3\sqrt{2}$.

a) Hình chiếu $H$ của $O$ trên $AB$: $H=A+t\overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{AB}$, tức $(A+t\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AB}=0\Rightarrow \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}+t\cdot 18=0$ với $\overrightarrow{OA}=(1;-2;2)$, $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=1-8-2=-9$, suy ra $t=1/2$. Vậy $H=(3/2;0;3/2)$, hoành độ $3/2>0$ → Đúng.

b) Vì $KO$ là đáy của hình thang $OABK$ và $AB$ là đáy kia nên $KO\parallel AB$, $KO=2AB=6\sqrt{2}$, do đó $K=\pm 2(1;4;-1)$, tức $K=(2;8;-2)$ hoặc $K=(-2;-8;2)$. Hình thang cân yêu cầu hai cạnh bên $OA$ và $BK$ bằng nhau; nhưng $OA=3$ còn với $K=(2;8;-2)$ thì $BK=|(0;6;-3)|=3\sqrt{5}$, với $K=(-2;-8;2)$ thì $BK=\sqrt{117}$. Về mặt lý thuyết, điều kiện cân còn đòi hỏi trung điểm hai đáy có đường nối vuông góc với $AB$: với $K=t(1;4;-1)$, vectơ nối hai trung điểm có tích vô hướng với $\overrightarrow{AB}$ bằng $9t$, chỉ triệt tiêu khi $t=0$ (suy biến). Vậy không tồn tại $K$ thỏa mãn, khẳng định $a+b+c=8$ là Sai.

c) $N\in (Oxz)$ nên $y_1=0$; $N$ thuộc đường thẳng $AB$: $(x;y;z)=(1+t;-2+4t;2-t)$. $-2+4t=0\Rightarrow t=1/2\Rightarrow N=(3/2;0;3/2)$, nên $x_1+y_1+z_1=3\ne 6$ → Sai.

d) $M(0;0;m)$: $M{A}^2=1+4+(m-2{)}^2=m^2-4m+9$; $M{B}^2=4+4+(m-1{)}^2=m^2-2m+9$; nên $2M{A}^2-M{B}^2=m^2-6m+9=(m-3{)}^2$. Ngoài ra $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=2\vec{A}-\vec{B}-\vec{M}=(0;-6;3-m)$ nên $\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{(m-3{)}^2+36}$. Do đó $T=(m-3{)}^2+\sqrt{(m-3{)}^2+36}$ là hàm tăng theo $u=(m-3{)}^2\ge 0$, đạt giá trị nhỏ nhất tại $m=3$: $T_{\min }=0+6=6\ne 42$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $O$ trên $AB$ là $H=A+t\overrightarrow{AB}$ với $(A+t\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AB}=0$; vì $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=-9$, $|\overrightarrow{AB}{|}^2=18$ nên $t=1/2$, $H=(3/2;0;3/2)$ có hoành độ dương.
b) (AI giải đề cho tôi)
$KO\parallel AB$, $KO=2AB$ cho $K=\pm (2;8;-2)$. Khi đó cạnh bên $BK$ bằng $3\sqrt{5}$ hoặc $\sqrt{117}$, khác $OA=3$, nên $OABK$ không phải hình thang cân; điều kiện cân dẫn đến $t=0$ (suy biến). Vậy không tồn tại $K$ thỏa mãn và $a+b+c=8$ là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$N\in (Oxz)$ và thẳng hàng với $A,B$: $t=1/2$ cho $N=(3/2;0;3/2)$, tổng $x_1+y_1+z_1=3\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $M(0;0;m)$: $2M{A}^2-M{B}^2=(m-3{)}^2$ và $\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{(m-3{)}^2+36}$, nên $T=(m-3{)}^2+\sqrt{(m-3{)}^2+36}\ge 6$, đạt tại $m=3$. Vậy $T_{\min }=6\ne 42$ → Sai.