Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$ thỏa mãn
$$\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\left[f^2(x)-2f(x)(3-x)\right]\mathrm{d}x=-\frac{109}{12}.\text{Tıˊnh }\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{f(x)}{x^2-1}\mathrm{d}x.$$

(AI giải đề cho tôi)
Biến đổi: $f^2(x)-2f(x)(3-x)={\left(f(x)-(3-x)\right)}^2-(3-x{)}^2$. Do đó ${\int }_{-1/2}^{1/2}{\left(f(x)-(3-x)\right)}^{2}dx={\int }_{-1/2}^{1/2}(3-x{)}^{2}dx+\left(-\frac{109}{12}\right)$. Tính ${\int }_{-1/2}^{1/2}(3-x{)}^{2}dx={\left[-\frac{(3-x{)}^3}{3}\right]}_{-1/2}^{1/2}=\frac{(7/2{)}^3-(5/2{)}^3}{3}=\frac{109}{12}$. Vậy tích phân của bình phương bằng $0$, suy ra $f(x)=3-x$ trên $[-1/2;1/2]$. Khi đó ${\int }_0^{1/2}\frac{3-x}{x^2-1}dx$. Phân tích $\frac{3-x}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}$. Nguyên hàm: $\ln |x-1|-2\ln |x+1|$. Tại $1/2$: $\ln \frac{1}{2}-2\ln \frac{3}{2}=\ln \frac{2}{9}$; tại $0$: $0$. Kết quả $\ln \frac{2}{9}$.