Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+2z+1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$. Hai mặt phẳng $(P)$, $(P^{\prime })$ chứa $d$ và tiếp xúc với $(S)$ tại $T$, $T^{\prime }$. Tìm tọa độ trung điểm $H$ của $T{T}^{\prime }$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Một trạm kiểm soát không gian trên Trái Đất cần tính toán vị trí của một vệ tinh viễn thông $S$ đang di chuyển trong không gian. Vệ tinh này truyền tín hiệu đến ba trạm thu sóng trên mặt đất có tọa độ $A(3;-2;5)$, $B(-1;4;-3)$, $C(6;1;2)$. Vệ tinh $S(x,y,z)$ luôn nằm trên một mặt cầu cố định do ảnh hưởng của từ trường hấp dẫn. Phương trình mặt cầu mô tả quỹ đạo vệ tinh là $(T):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=1$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;2;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha ):x-y-z+2=0$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(Q)$ song song với mặt phẳng $(P):2x-2y+z-17=0$. Biết mặt phẳng $(Q)$ cắt mặt cầu $(S):x^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=25$ theo một đường tròn có chu vi bằng $6\pi$. Khi đó phương trình mặt phẳng $(Q)$ có dạng $2x-2y+z+d=0$. Tính $d$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ thuộc đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{2}$. Biết rằng mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $2\sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng $(Oxz)$ theo một đường tròn có bán kính bằng $2$. Tìm tọa độ tâm $I$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-3{)}^2=8$ và hai điểm $A(4;-4;3)$, $B(1;-1;7)$. Gọi $(C_1)$ là tập hợp các điểm $M\in (S)$ sao cho biểu thức $MA-2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết $(C_1)$ là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-10;6;-2)$, $B(-5;10;-9)$ và mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y-z+12=0$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc $(\alpha )$ sao cho $MA,MB$ tạo với $(\alpha )$ các góc bằng nhau và biểu thức $T=2M{A}^2-M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng $a+b+c$ bằng