Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-3{)}^2=8$ và hai điểm $A(4;-4;3)$, $B(1;-1;7)$. Gọi $(C_1)$ là tập hợp các điểm $M\in (S)$ sao cho biểu thức $MA-2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết $(C_1)$ là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó là

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;3)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Ta có $IA=\sqrt{4^2+(-4{)}^2+0^2}=4\sqrt{2}=2R$.
Gọi $C$ là điểm trên đoạn $IA$ thỏa mãn $IC=\frac{1}{4}IA\Rightarrow C(1;-1;3)$. Khi đó $IC=\sqrt{2}=\frac{R}{2}$.
Xét hai tam giác $\Delta IAM$ và $\Delta IMC$, ta có:
$\hat{I}$ chung và $\frac{IA}{IM}=\frac{IM}{IC}=2\Rightarrow \Delta IAM\backsim \Delta IMC\Rightarrow MA=2MC$.
Suy ra $P=MA-2MB=2MC-2MB=2(MC-MB)$.
Để $MA-2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$ thì $MC=MB$, suy ra $M$ thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $BC$.
Ta có $B(1;-1;7)$ và $C(1;-1;3)$, trung điểm của $BC$ là $K(1;-1;5)$ và $\overrightarrow{BC}=(0;0;-4)$.
Phương trình mặt phẳng trung trực $(P)$ của $BC$ là $z-5=0$.
Khoảng cách từ tâm $I(0;0;3)$ đến mặt phẳng $(P)$ là $h=d(I,(P))=|3-5|=2$.
Khi đó tập hợp $M$ là đường tròn giao tuyến có bán kính:
$R_1=\sqrt{R^2-h^2}=\sqrt{8-2^2}=2$.