Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $2x+y-z-1=0$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=4$. Xác định bán kính $r$ của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ và mặt cầu $(S)$?

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=25$ tâm $I$ và điểm $A(2;2;1)$. Xét các điểm $B,C,D$ thay đổi thuộc $(S)$ sao cho $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc nhau. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(BCD)$ có giá trị lớn nhất bằng $\frac{m}{n}$ (với $m,n$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản). Tích $m\cdot n$ bằng?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $A(1;3;-2)$, tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$. Mặt cầu $(S)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(1;2;5)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+2z+2=0$. Phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với $(\alpha )$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;-3;4)$, đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{2}$ và mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=20$. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ thỏa mãn khoảng cách từ điểm $A$ đến $(P)$ lớn nhất. Mặt cầu $(S)$ cắt $(P)$ theo đường tròn có bán kính bằng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z-3=0$ và điểm $I(1;2;-3)$. Mặt cầu $(S)$ tâm $I$ và tiếp xúc $(P)$ có phương trình:

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):5x+by+cz+d=0$ đi qua hai điểm $A(-1;5;7)$, $B(4;2;3)$ và cắt mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$ theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $T=3b-2c$.