Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=25$ tâm $I$ và điểm $A(2;2;1)$. Xét các điểm $B,C,D$ thay đổi thuộc $(S)$ sao cho $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc nhau. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(BCD)$ có giá trị lớn nhất bằng $\frac{m}{n}$ (với $m,n$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản). Tích $m\cdot n$ bằng?

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;-3)$ và bán kính $R=5$. Điểm $A(2;2;1)$ có $IA=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=5=R$ nên $A\in (S)$. Vì $AB,AC,AD$ là ba dây cung đôi một vuông góc của mặt cầu $(S)$ nên hình hộp chữ nhật dựng trên ba cạnh $AB,AC,AD$ nội tiếp mặt cầu $(S)$, có đường chéo từ $A$ đi qua tâm $I$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}⟹\overrightarrow{IG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{IA}$. Do đó mặt phẳng $(BCD)$ luôn đi qua điểm cố định $G$ với $IG=\frac{1}{3}R=\frac{5}{3}$. Khoảng cách từ $I$ đến $(BCD)$ thỏa mãn $d(I,(BCD))\le IG=\frac{5}{3}$ (dấu bằng xảy ra khi $(BCD)\perp IG$). Vậy $\frac{m}{n}=\frac{5}{3}⟹m\cdot n=15$.