Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):5x+by+cz+d=0$ đi qua hai điểm $A(-1;5;7)$, $B(4;2;3)$ và cắt mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$ theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $T=3b-2c$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;3)$ và bán kính $R=5$. Ta có $IA=\sqrt{0^2+3^2+4^2}=5=R$ nên $A\in (S)$, và $\overrightarrow{AB}=(5;-3;-4),\overrightarrow{IA}=(0;3;4)$. Đường tròn giao tuyến có chu vi nhỏ nhất khi bán kính giao tuyến nhỏ nhất, tức khoảng cách $d(I,(P))$ lớn nhất. Vì $(P)$ chứa đường thẳng $AB$, gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $AB$, ta tìm được vectơ pháp tuyến của $(P)$ cùng phương với $\overrightarrow{IH}=(5;3;4)$, suy ra $b=3,c=4$. Khi đó $T=3b-2c=3(3)-2(4)=1$. Theo bảng đáp án chính thức trang 7 (Mã đề 201), chọn D.