Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;2]$ thỏa mãn $f(2)=0,{\int }_1^2[f^{\prime }(x){]}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{45}$ và ${\int }_1^2(x-1)f(x)\mathrm{d}x=-\frac{1}{30}$. Tính $I={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$

Tích phân từng phần: ${\int }_1^2(x-1)f(x)\mathrm{d}x={\frac{(x-1{)}^2}{2}f(x)|}_1^2-{\int }_1^2\frac{(x-1{)}^2}{2}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}{\int }_1^2(x-1{)}^2{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=-\frac{1}{30}\Rightarrow {\int }_1^2(x-1{)}^2{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{15}$. Mặt khác ${\int }_1^2(x-1{)}^4\mathrm{d}x=\frac{1}{5}$. Nhận thấy ${\int }_1^2{\left[f^{\prime }(x)-\frac{1}{3}(x-1{)}^2\right]}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{45}-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{15}+\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{5}=0$, suy ra $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x-1{)}^2$. Do $f(2)=0$ nên $f(x)=\frac{1}{9}(x-1{)}^3-\frac{1}{9}$. Khi đó $I={\int }_1^2\left[\frac{1}{9}(x-1{)}^3-\frac{1}{9}\right]\mathrm{d}x=\frac{1}{36}-\frac{1}{9}=-\frac{1}{12}$. Theo bảng đáp án chính thức trang 7 (Mã đề 201), chọn D.