Cho hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn các điều kiện $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+9+2\sqrt{x^2+9}},f(4)=1$. Khi đó ${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho ${\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=-2$ và ${\int }_1^5(2\cdot f(x))\text{d}x=6$, khi đó ${\int }_0^{5}f(x)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tính tích phân $I={\int }_{-1}^{3}f(2x-1)\text{d}x$.

[IMAGE:img_q26_stem]

Cho $I={\int }_0^1\left(x+\sqrt{x^2+15}\right)\text{d}x=a+b\ln 3+c\ln 5$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Tính tổng $a+b+c$.

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=2$ thì ${\int }_0^{1}2f(x)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=3^x$ và $y=x$ có đồ thị như hình bên. Diện tích hình phẳng (phần gạch sọc) được tính bởi công thức

Kiến trúc sư dự định thiết kế một khu vui chơi có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh $40$ mét (xem hình minh họa). Trong đó, phần tô đậm dùng để trồng hoa, phần còn lại để làm sân chơi. Mỗi phần trồng hoa được giới hạn bởi một trục đối xứng của hình vuông $ABCD$ và đường cong $(C)$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba nhận tâm $I$ của hình vuông $ABCD$ làm tâm đối xứng. Đường cong này có điểm cực trị $E$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $AE=3EB$. Hỏi diện tích phần trồng hoa bằng bao nhiêu mét vuông?