Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a,AC=2a,\widehat{BAC}=120^{\circ }$. Gọi $I,K$ lần lượt là tâm của các mặt bên $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime },AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $E$ là trung điểm của $C{C}^{\prime }$ *(tham khảo hình vẽ bên)*. Biết hai mặt phẳng $(AC{B}^{\prime }),(AB{C}^{\prime })$ tạo với nhau góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{5}$. Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh $A,B,C,K,E,I$ là

Trong tam giác $ABC$, diện tích $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 120^{\circ }=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Đặt chiều cao lăng trụ là $A{A}^{\prime }=h$. Gắn hệ trục tọa độ hoặc tính khoảng cách để sử dụng giả thiết $\cos ((AC{B}^{\prime }),(AB{C}^{\prime }))=\frac{\sqrt{10}}{5}$ ta tìm được $h=a\sqrt{3}$, suy ra thể tích khối lăng trụ là $V=S_{△ABC}\cdot h=\frac{3a^3}{2}$. Mặt phẳng $(IKE)$ đi qua các trung điểm của $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ nên chia lăng trụ thành hai phần bằng nhau có thể tích $\frac{V}{2}$. Khối đa diện lồi $ABCKIE$ gồm phần dưới thiết diện trung bình trừ đi khối chóp $K.A{A}^{\prime }M$ (hoặc phân chia tỉ số thể tích theo $K,I,E$) có thể tích bằng $\frac{3}{8}V=\frac{3}{8}\cdot \frac{3a^3}{2}=\frac{9a^3}{16}$.