Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f(x)$, hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ



Số điểm cực tiểu của hàm số $g(x)=f(x^4)-2x^3+1$

Ta có $g^{\prime }(x)=4x^3{f}^{\prime }(x^4)-6x^2=4x^2\left[x{f}^{\prime }(x^4)-\frac{3}{2}\right]$. Tại $x=0$, $g^{\prime }(x)$ không đổi dấu. Với $x\ne 0$, $g^{\prime }(x)=0⟺f^{\prime }(x^4)=\frac{3}{2x}$. Từ đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ đi qua $\left(1;\frac{3}{2}\right),(3;-2),(4;0)$, đường cong $y=\frac{3}{2x}$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x^4)$ tại các nghiệm đơn sao cho đạo hàm $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $4$ điểm. Vậy hàm số $g(x)$ có $4$ điểm cực tiểu.