Cho tập $S=\{1;2;3;\dots ;30\}$ là tập hợp $30$ số nguyên dương đầu tiên. Lấy ngẫu nhiên $3$ số khác nhau trong tập $S$, xác suất sao cho ba số lấy được có tổng các lập phương của chúng là một số chia hết cho $4$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{30}^3=4060$. Trong tập $S$, có $15$ số chẵn (có lập phương $\equiv 0(\mathrm{mod}4)$), $8$ số chia $4$ dư $1$ (có lập phương $\equiv 1(\mathrm{mod}4)$) và $7$ số chia $4$ dư $3$ (có lập phương $\equiv -1(\mathrm{mod}4)$). Tổng lập phương của $3$ số chia hết cho $4$ khi cả $3$ số đều chẵn ($C_{15}^3=455$ cách) hoặc có $1$ số chẵn, $1$ số chia $4$ dư $1$, $1$ số chia $4$ dư $3$ ($15\cdot 8\cdot 7=840$ cách). Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{455+840}{4060}=\frac{1295}{4060}=\frac{37}{116}\approx 0,319\in (0,3;0,4)$.