Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Số tham số $m$ nguyên trong đoạn $[-20;20]$ để hàm số $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1;2)$? biết $g(x)=3f(-x^3-3x+m)+(x^3+3x-m{)}^2(-2x^3-6x+2m-6)$.

Đặt $t=-x^3-3x+m$. Khi $x\in (-1;2)$, hàm số $t(x)=-x^3-3x+m$ nghịch biến và nhận giá trị trên khoảng $(m-14;m+4)$. Khi đó $g(x)=h(t)=3f(t)+2t^3-6t^2$. Để $g(x)$ nghịch biến trên $(-1;2)$ thì $h(t)$ phải đồng biến trên $(m-14;m+4)$, tức là $h^{\prime }(t)=3\left[f^{\prime }(t)+2t^2-4t\right]\ge 0,\forall t\in (m-14;m+4)⟺f^{\prime }(t)\ge -2t^2+4t,\forall t\in (m-14;m+4)$. Từ đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ và parabol $y=-2t^2+4t$ (đi qua $(0;0),(1;2),(2;0)$), bất phương trình $f^{\prime }(t)\ge -2t^2+4t$ nghiệm đúng với mọi $t\in [-1;+\infty )$ hoặc $t\le x_0<-1$; để $(m-14;m+4)\subset [-1;+\infty )$ ta cần $m-14\ge -1⟺m\ge 13$ (hoặc thuộc nhánh tương ứng), kết hợp $m\in [-20;20],m\in \mathbb{Z}$ thu được $17$ giá trị nguyên.