Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu của hàm hợp từ đồ thị đạo hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (hàm bậc ba cắt trục hoành tại $x=-2,x=0,x=2$): $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$.
a) Sai: trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, không nghịch biến.
b) Đúng: $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$ ($+$ sang $-$), $x=0$ ($-$ sang $+$), $x=2$ ($+$ sang $-$) nên $f$ có ba điểm cực trị (hai cực đại tại $x=\pm 2$, một cực tiểu tại $x=0$).
c) Đúng: trên $[-2;2]$, $f$ nghịch biến trên $[-2;0]$ rồi đồng biến trên $[0;2]$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$, bằng $f(0)$.
d) Sai: vì $f$ là hàm bậc bốn nên $f(x)\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Trên $(-\infty ;-2]$, $f$ đồng biến đến $f(-2)>f(0)>0$ nên không có nghiệm; trên $[-2;2]$, $f(x)\ge f(0)>0$ nên không có nghiệm; trên $(2;+\infty )$, $f$ giảm từ $f(2)>0$ xuống $-\infty$ nên có đúng 1 nghiệm. Vậy phương trình $f(x)=0$ có tối đa 2 nghiệm phân biệt, không phải 3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-2)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2,x=0,x=2$ nên $f$ có ba điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$, $f$ giảm trên $[-2;0]$ và tăng trên $[0;2]$ nên min bằng $f(0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(0)>0$ và $f(-2),f(2)>f(0)$, hàm bậc bốn đi lên $+\infty$ hai đầu nên $f(x)=0$ có tối đa 2 nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(-1;1)$ và $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(1;4)$ (đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$, $x=1$, $x=4$). Do đó $f$ đồng biến trên $(-1;1)$ và nghịch biến trên $(1;4)$. Vậy khẳng định đúng là C: hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$. Các phương án A, B, D sai vì trên $(1;4)$ hàm nghịch biến, còn trên $(-1;4)$ hàm không nghịch biến toàn bộ (đồng biến trên $(-1;1)$).

Ta có $g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2-2)-6f^{\prime }(2-2x)$. Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(t)>0$ khi $t\in (-3;0)\cup (2;+\infty )$ và $f^{\prime }(t)<0$ khi $t\in (-\infty ;-3)\cup (0;2)$.
Xét $x\in (-1;0)$: khi đó $x<0$ và $x^2-2\in (-2;-1)\subset (-3;0)\Rightarrow f^{\prime }(x^2-2)>0\Rightarrow 2x{f}^{\prime }(x^2-2)<0$; đồng thời $2-2x\in (2;4)\subset (2;+\infty )\Rightarrow f^{\prime }(2-2x)>0\Rightarrow -6f^{\prime }(2-2x)<0$. Do đó $g^{\prime }(x)<0,\forall x\in (-1;0)$, suy ra hàm số $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$.

Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ đi qua $(-1;0),(0;0),(1;0)$ nên $f^{\prime }(x)=x^3-x\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)=3x^2-1$. Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)\cdot f^{\prime }(f^{\prime }(x))$. Với $x\in (-\infty ;-2)$, ta có $f^{\prime \prime }(x)=3x^2-1>0$ và $f^{\prime }(x)=x^3-x<-6<-1$, suy ra $f^{\prime }(f^{\prime }(x))<0$, do đó $g^{\prime }(x)<0,\forall x\in (-\infty ;-2)$.

a) Đúng. Trên khoảng $(-1;1)$, đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)<0$, suy ra hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $(-1;1)$.
b) Sai. Đồ thị $f^{\prime }(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại $x=-1$ và cắt trục hoành tại $x=2$, nên $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu qua $x=2$. Do đó hàm số $y=f(x)$ chỉ có đúng $1$ điểm cực trị.
c) Sai. Tại $x=-1$, đạo hàm không đổi dấu khi đi qua điểm này nên $x=-1$ không phải là điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$.
d) Đúng. Từ đồ thị xác định được $f^{\prime }(x)=(x+1{)}^2(x-2)=x^3-3x-2$. Đặt $g(x)=f^{\prime }(x)=x^3-3x-2$, khi đó $g^{\prime }(x)=3x^2-3>0$ với mọi $x>1$, nên $g$ đồng biến trên đoạn $[1;5]$. Do đó ${\max }_{[1;5]}{f}^{\prime }(x)=g(5)=5^3-3(5)-2=108$.