Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu từ đạo hàm hoặc bảng dấu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$V^{\prime }(T)=-0,06426+0,0170086T-0,0002307T^2$. Giải $V^{\prime }(T)=0$: $T=\frac{0,0170086\pm \sqrt{0,0170086^2-4\cdot 0,0002307\cdot 0,06426}}{2\cdot 0,0002307}$. Biệt thức $=0,000289293-0,000059278=0,000230015$, $\sqrt{\cdot }\approx 0,015166$. Nghiệm nhỏ $T\approx \frac{0,0018426}{0,0004614}\approx 3,994\approx 4$; nghiệm lớn ngoài đoạn $[0;30]$. Vì $V^{\prime }(0)<0$ và $V^{\prime }>0$ sau nghiệm này, thể tích tăng kể từ $T_0\approx 4{}^{\circ }C$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$, $(1;+\infty )$ đồ thị đều đi xuống (trên nhánh trái hàm giảm từ $+\infty$ về giá trị nhỏ hơn khi $x\to 1^{-}$, nhánh phải cũng giảm từ $+\infty$ về $-\infty$ khi $x$ tăng). Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến trên khoảng nào. Do đó phát biểu đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(-1;0)$ là khoảng đồng biến. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, đồng biến trên $(-1;1)$. a) Sai: $(8;14)$ là khoảng của giá trị $f(x)$, không phải của $x$; hàm không nghịch biến trên khoảng này (thực chất $(8;14)$ không phải miền xác định theo biến $x$). b) Đúng: hàm giảm từ 142 xuống 8 tại $x=-1$, tăng lên 38 tại $x=1$, rồi giảm về 14 khi $x\to +\infty$; giá trị nhỏ nhất là $\min f=8$ đạt tại $x=-1$. c) Sai: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 142>38$, nên giá trị lớn nhất của hàm là 142 (không tồn tại GTLN bằng 38; 38 chỉ là cực đại). d) Sai: hàm chỉ đồng biến trên $(-1;1)$, không đồng biến trên $(8;38)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(8;14)$ là khoảng của giá trị hàm số, không phải của biến $x$; hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, không thể nói nghịch biến trên $(8;14)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm giảm đến 8 tại $x=-1$, sau đó tăng rồi giảm về 14 khi $x\to +\infty$; mọi giá trị đều $\ge 8$, nên $\min f=8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 142>38$, nên 38 không phải giá trị lớn nhất của hàm (38 chỉ là cực đại tại $x=1$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, không đồng biến trên $(8;38)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: f đồng biến trên (-∞;-1) và (1;+∞), nghịch biến trên (-1;1), cực đại tại x=-1 (f(-1)=4), cực tiểu tại x=1 (f(1)=0). a) Đúng: đồ thị đi xuống trên (-1;1) nên f nghịch biến. b) Đúng: trên (-∞;-1) và (1;+∞) đồ thị đi lên nên f'(x)>0. c) Sai: g(x)=f(x)+1 có g'=f'; trên (0;1) f nghịch biến nhưng trên (1;2) f đồng biến, nên g không nghịch biến trên toàn (0;2). d) Đúng: với x>1, f(|x|)=f(x) đồng biến; với x∈(-1;0), y'=f'(|x|)·sign(x)=-f'(-x), mà -x∈(0;1) nên f'(-x)<0, suy ra y'>0, hàm đồng biến trên (-1;0).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị giảm trên (-1;1) nên f nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;-1) và (1;+∞) đồ thị đi lên, nên f'(x)>0.
c) (AI giải đề cho tôi)
g'=f'; trên (1;2) f đồng biến nên g không nghịch biến trên toàn (0;2).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x>0, y=f(x) đồng biến trên (1;+∞). Với x∈(-1;0), y'=-f'(-x)>0 vì -x∈(0;1) và f'<0 tại đó, nên đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có cực đại tại $x=0$ (giá trị $1$) và cực tiểu tại $x=2$ (giá trị $-3$). Trên khoảng giữa hai điểm cực trị, đồ thị đi xuống từ $1$ đến $-3$, nên hàm nghịch biến trên $(0;2)$. Các khoảng khác hàm đồng biến hoặc chứa điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-2x^2+x+1$, ta có $y^{\prime }=3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<\frac{1}{3}$ hoặc $x>1$; $y^{\prime }<0$ khi $\frac{1}{3}<x<1$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{1}{3};1\right)$ và đồng biến trên $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và $(1;+\infty )$. Do đó mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=2x^2-8x+6=2(x-1)(x-3)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0$, tức $1<x<3$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;3)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa: hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $K$ nếu với mọi $x_1,x_2\in K$, $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$. Do đó A sai (dấu ngược lại), B đúng. C mô tả hàm hằng, không phải nghịch biến; D sai vì nghịch biến phải là $f(x_1)>f(x_2)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số bậc ba có điểm cực tiểu tại $x=-1$ và điểm cực đại tại $x=1$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, đồng biến trên khoảng $(-1;1)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x+2$ có $y^{\prime }=3x^2-3$. Hàm nghịch biến khi $y^{\prime }<0\iff 3x^2-3<0\iff -1<x<1$. Vậy khoảng nghịch biến là $(-1;1)$, tức $a=-1$, $b=1$. Do đó $P=\frac{a+2b}{4}=\frac{-1+2}{4}=\frac{1}{4}=0,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$, với $f(0)=1$, $f(2)=5$, và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$ nên $a<0$.
a) Sai: vì $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$ nên $a<0$, do đó khẳng định $a>0$ là sai.
b) Đúng: trên $(-\infty ;0)$ hàm giảm liên tục từ $+\infty$ xuống $f(0)=1$, nên $2f(x)$ nhận mọi giá trị trong $(2;+\infty )$. Vì $2<e\approx 2,718$, phương trình $2f(x)-e=0$ luôn có đúng một nghiệm âm.
c) Đúng: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=2$, nên hàm đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=5$.
d) Sai: trên $(1;5)$, hàm đồng biến trên $(1;2)$ và nghịch biến trên $(2;5)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(1;5)$.
Kết quả S-Đ-Đ-S khớp đáp án mã 1020 (SDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$ nên $a<0$, do đó $a>0$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;0)$ hàm giảm từ $+\infty$ đến $1$, nên $2f(x)$ nhận mọi giá trị trong $(2;+\infty )$; vì $2<e$ nên phương trình $2f(x)-e=0$ luôn có một nghiệm âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=2$, nên hàm đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;5)$, hàm đồng biến trên $(1;2)$ và nghịch biến trên $(2;5)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(1;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0\iff -3x(x-2)<0\iff x(x-2)>0\iff x<0$ hoặc $x>2$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(2;+\infty )$ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=x^3-3x^2-14$, $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$ đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- B: $y=x^3-x^2+12x-9$, $y^{\prime }=3x^2-2x+12$ có $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot 12=4-144=-140<0$ và hệ số $a=3>0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- C: $y=\frac{2x-2}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- D: $y=x^4+2x^2$, $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$ đổi dấu tại $x=0$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (10.B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 12 (Mã đề 132): hàm số có điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-2$) và điểm cực đại tại $x=2$ (giá trị $2$). Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án D của câu 12 trong bảng mã đề 132.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}=\frac{26(t+5)-120}{t+5}=26-\frac{120}{t+5}$.
a) $f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$, nên $f(t)$ đồng biến, số dân tăng theo thời gian → khẳng định a SAI.
b) Giai đoạn 1970–2000 tương ứng $t\in [0;30]$. Vì $f$ đồng biến nên max tại $t=30$: $f(30)=\frac{790}{35}\approx 22,57<23$ → khẳng định b ĐÚNG.
c) Đồ thị $y=26-\frac{120}{t+5}$ là hyperbol có tâm đối xứng giao của hai tiệm cận $t=-5$ và $y=26$, tức $I(-5;26)$ → khẳng định c ĐÚNG.
d) $f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}$ là hàm giảm theo $t$, nên tốc độ tăng dân số lớn nhất tại $t=0$ (năm 1970), không phải năm 1998 → khẳng định d SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$ nên $f$ đồng biến trên $[0;+\infty )$, số dân tăng theo thời gian.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ đồng biến, max trên $[0;30]$ là $f(30)=\frac{790}{35}\approx 22,57<23$ nghìn người.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(t)=26-\frac{120}{t+5}$ có hai tiệm cận $t=-5$, $y=26$ nên tâm đối xứng $I(-5;26)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}$ giảm dần theo $t$, tốc độ tăng lớn nhất tại $t=0$ (năm 1970).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=-x^3-2x+1$ có $y^{\prime }=-3x^2-2<0$ với mọi $x$, nên hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=\frac{x-2}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nhưng hàm không xác định tại $x=-1$, nên không đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. C) $y=3x^3+3x-2$ có $y^{\prime }=9x^2+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. D) $y=2x^3-5x+1$ có $y^{\prime }=6x^2-5$ đổi dấu tại $x=\pm \sqrt{5/6}$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2: hàm số $y=f(x)$ có dạng chữ W với hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$ (giá trị $-2$) và một điểm cực đại tại $x=0$ (giá trị $-1$). Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các khoảng A, B, C, D, chỉ có khoảng $(-1;0)$ là khoảng đồng biến. Đáp án C, trùng với bảng đáp án nguồn (Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có D nêu đúng một khoảng đồng biến là $(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$. Lưu ý: hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ riêng biệt; đáp án D là lựa chọn đúng theo cách trình bày của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tập xác định của $g$ là $[-2;+\infty )$ (khoảng trước $-2$ bị gạch chéo), $g(-2)=0$, $g$ đồng biến từ $0$ đến $+\infty$ trên $(-2;0)$ (khi $x\to 0^{-}$ thì $g(x)\to +\infty$), $g(0)=1$ và $g$ nghịch biến từ $1$ xuống $-\infty$ trên $(0;+\infty )$.

a) Trên $(0;+\infty )$ ta có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$: ĐÚNG.

b) Trên $(-2;0)$: $g(-2)=0$ và $g$ đồng biến, $g(x)\ge 0$, đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ (cắt tại điểm này). Trên $(0;+\infty )$: $g$ liên tục, giảm từ $1$ đến $-\infty$ nên theo định lý giá trị trung gian, đồ thị cắt trục hoành tại đúng một điểm. Vậy đồ thị luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm: ĐÚNG.

c) Tại $x=0$, do ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$ nên hàm số không liên tục tại $x=0$, không thể đạt cực đại tại đó (cực đại yêu cầu hàm liên tục và đổi dấu đạo hàm từ $+$ sang $-$ quanh điểm đó với giá trị hữu hạn): SAI.

d) Xét $y=\frac{1}{g(x)-1}$:
- Tiệm cận đứng: $g(x)=1$ xảy ra tại đúng một điểm trên $(-2;0)$ (vì $g$ đồng biến từ $0$ đến $+\infty$) và tại $x=0$ (vì $g(0)=1$, mẫu số bằng $0$). Vậy $a=2$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{g(x)-1}=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{g(x)-1}=0$ nên có $b=1$ đường tiệm cận ngang $y=0$.
Khi đó $a^2+b^2=4+1=5\ne 10$: SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$ có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(-2)=0$ nên đồ thị cắt trục hoành tại $x=-2$; trên $(0;+\infty )$ hàm liên tục giảm từ $1$ đến $-\infty$ nên còn cắt trục hoành thêm một điểm. Vậy luôn cắt trục hoành ít nhất một điểm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$, hàm số không liên tục tại $x=0$ nên không đạt cực đại tại đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=1$ có đúng một nghiệm trên $(-2;0)$ và tại $x=0$ nên $a=2$; hàm số có $b=1$ tiệm cận ngang $y=0$. Suy ra $a^2+b^2=5\ne 10$.