Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (xem hình bên).

Góc giữa hai vecto $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}$ bằng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ (xem hình bên dưới). Vectơ $-\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian, cho $A,B,C$ là ba điểm bất kì. Khẳng định nào dưới đây là sai?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm $f^{\prime }(x)$ như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ và có đồ thị như hình bên dưới. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-1;3]$. Giá trị của $M+m$ bằng

Cho hàm số $y=-x^3+3x^2-2$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Một căn phòng có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với chiều dài là $AB=9$ m, chiều rộng là $AD=6$ m và chiều cao là $A{A}^{\prime }=3,5$ m. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ trùng với gốc phòng $A$ và mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sàn, các đỉnh $D,B,A^{\prime }$ lần lượt thuộc các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$; đơn vị đo được lấy theo mét (xem hình bên dưới). Một chiếc đèn được đặt tại vị trí điểm $M$, cách trần nhà 1 m; cách hai bức tường $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ lần lượt là 2 m và 3 m. Một chậu cây được đặt trên bàn tại vị trí điểm $N(4;7;1,2)$.

Cho hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$ có đồ thị là $(C)$.

Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$ có đồ thị như hình bên dưới.

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là bao nhiêu?

Khi sản xuất vỏ lon sữa hãng X, nhà sản xuất luôn đặt tiêu chí sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất. Biết rằng lon sữa có dạng hình trụ và có dung tích là 500 ml. Chiều cao của lon sữa bằng bao nhiêu centimet để chi phí vật liệu dùng để sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Khi đó $\overrightarrow{C^{\prime }G}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}+p\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Giá trị của $4m-n+5p$ bằng bao nhiêu?

Cho đồ thị hàm số $y=\frac{-2x^2+7x-3}{x-1}$ có đường tiệm cận xiên là $y=ax+b$. Giá trị của $5b-a$ bằng bao nhiêu?

Một vật chuyển động trên một đường thẳng nằm ngang chiều dương hướng sang phải sao cho tọa độ của vật (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $s(t)=-t^3+6t^2-9t+3,t\ge 0$.
a) Tìm hàm vận tốc tức thời của vật.
b) Tìm vận tốc tức thời lớn nhất của vật trong khoảng thời gian từ $t=0$ giây đến $t=5$ giây.
c) Tìm quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $t=0$ giây đến $t=5$ giây.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng 4, cạnh bên bằng 6, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $SC$.
a) Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{ON}$ và $\overrightarrow{CD}$.
b) Tính độ dài của vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí $A$ và $B$ cách nhau 4 km. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí $C$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, cách trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ một khoảng 4 km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước $C$ đến một vị trí $I$ thuộc đoạn thẳng $CM$, sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy $A$ và $B$ (xem hình bên dưới). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?