Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Khi đó $\overrightarrow{C^{\prime }G}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}+p\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Giá trị của $4m-n+5p$ bằng bao nhiêu?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ bằng vectơ nào dưới đây?

Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$.

Vectơ nào dưới đây là vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ ?

Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ cạnh bằng $a$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đường chéo $A^{\prime }C=\frac{3}{16}$. Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ và điểm $S$ thỏa mãn: $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }}+\overrightarrow{O{D}^{\prime }}$. Khi đó độ dài của đoạn $OS$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{b}$ với $a,b\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P=a^2+b^2$.

R. Buckminster Fuller là một kiến trúc sư, một nhà phát minh thiên tài, ông đã phác thảo một thành phố tương lai gồm ba mặt tam giác và mặt nền tạo thành một khối tứ diện (như hình vẽ). Mỗi mặt tam giác chứa 5000 mặt căn hộ, mỗi căn hộ đều hướng lên trời và có sân thượng rộng rãi. Đặc biệt, nó có thể nổi trên nước, trở thành một siêu đô thị trên đại dương, hoặc nằm trên đất liền với hệ thống chống động đất.



Giả sử một thành phố tương lai nói trên là tứ diện $ABCD$ có 6 cạnh đều dài bằng 900 mét. Một trong các khung thép nâng đỡ tứ diện này là tứ giác $MNPQ$, trong đó $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,AD$, $P,Q$ lần lượt thuộc cạnh $BD,BC$ và $PQ$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $BCD$ (mặt nền). Hỏi chu vi của khung thép $MNPQ$ bằng bao nhiêu mét. (làm tròn đến hàng đơn vị).