Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$, $B(3;-1;1)$. Mặt cầu đường kính $AB$ có phương trình là

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^4-2x^2+2$ trên khoảng $(-2;1)$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ và có bảng biến thiên như hình bên. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng

[IMAGE_1]

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x-1}$. Biết $F(2)=1$, giá trị của $F(3)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+2z+1=0$. Đường thẳng nào sau đây song song với mặt phẳng $(\alpha )$?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ. Hỏi hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

[IMAGE_1]

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1=3,q=-\frac{1}{2}$. Số hạng thứ $2021$ bằng

Cho khối chóp tứ giác có thể tích bằng $9a^3$ và đáy là hình vuông cạnh $a$. Độ dài đường cao của khối chóp bằng

Tập nghiệm của phương trình ${\log }_2(x^2+1)=2$ là

Cho số phức $z=2+3i$. Phần thực của số phức $\bar{z}$ bằng

Một hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng $20\pi$ và độ dài đường sinh bằng $5$ có thể tích bằng

Một hũ thủy tinh đựng mật ong gồm một hình trụ và một nửa hình cầu có kích thước như hình vẽ dưới (tính theo đơn vị $\text{cm}$). Thể tích của hũ chứa mật ong là

[IMAGE_1]

Cho các số thực dương $a,b,x$ khác $1$, thỏa mãn $\alpha ={\log }_{a}x$; $3\alpha ={\log }_{b}x$. Giá trị của ${\log }_{x^3}{a}^2{b}^3$ bằng

Cho miền $D$ giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=0,x=2$. Thể tích vật thể tròn xoay thu được khi miền $D$ quay quanh $Ox$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$, ${\int }_0^{3}f(x)dx=6$. Tích phân ${\int }_{-1}^{1}f(|2x-1|)dx$ bằng

Cho hình bình hành $ABCD$, với $A,B,C,D$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $z_a=1-i$, $z_b=2+3i$, $z_c=3+i$ và $z_d=x+yi$. Giá trị $x+y$ bằng

Thể tích khối lăng trụ đều $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, có cạnh bên bằng $a$ và $A{C}_1=a\sqrt{3}$ bằng

Một khối trụ có đường cao bằng $2$, chu vi của thiết diện qua trục gấp $3$ lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $1$ là

Cho hai số phức $z_1=\sqrt{3}+i,z_2=\sqrt{3}-i$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{4x}\le {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2-x}$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có $f^{\prime }(x)=x(x-1{)}^2(x-2{)}^3$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$ và ${\Delta }_2:\frac{x+3}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{-2}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ bằng

Hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left(2x+\frac{1}{x^3}\right)}^4$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị trên đoạn $[0;4]$ như hình vẽ bên.

[IMAGE_1]

Diện tích các hình phẳng (được gạch chéo trong hình) là $S_1=\frac{11}{6}$ và $S_2=\frac{9}{2}$. Tích phân $I={\int }_0^{4}f(x)dx$ bằng

Xét các số thực dương $x,y$ thoả mãn $2021^{2(x^2-y+1)}=\frac{2x+y}{(x+1{)}^2}$. Giá trị nhỏ nhất $P_{\min }$ của biểu thức $P=2y-3x$ tại $y$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0;-1\}$ thỏa mãn $x(x+1)f^{\prime }(x)+f(x)=x^2+x$. Biết $f(1)=-2\ln 2$ và $f(2)=a+b\ln 3(a,b\in \mathbb{Q})$. Giá trị biểu thức $a^2+b^2$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$, hàm số $f^{\prime }(x)=x^3+a{x}^2+bx+c(a,b,c\in \mathbb{R})$ có đồ thị như hình vẽ.

[IMAGE_1]

Hàm số $g(x)=f(f^{\prime }(x))$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Biết rằng hàm số $f(x)$ xác định, liên tục trên đoạn $[-1;0]$ đồng thời thỏa mãn các điều kiện $f^{\prime }(x)=(x^2+1)f^2(x)$ và $f(0)=1$. Tính $f(-1)$?

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $|z|=1$ và $\left|\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{z}\right|=\sqrt{3}$?

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

[IMAGE_1]

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=f(|x|+m)$ có $5$ điểm cực trị là

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân, $AB=BC=2a$. Tam giác $SAC$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SA=a\sqrt{3}$. Góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=16$. Mặt phẳng $(Oxy)$ cắt $(S)$ theo một đường tròn có chu vi bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$; đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ bằng $\frac{a}{\sqrt{6}}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên $6$ học sinh, gồm $3$ nam và $3$ nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng

Trong không gian $Oxyz$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(-2;2;1)$ cắt trục tung tại $B$ sao cho $OB=2OA$ có phương trình là

Bà Thủy dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất $6,5\%$ một năm. Biết rằng, cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu. Tính số tiền tối thiểu $x$ (triệu đồng, $x\in \mathbb{N}$) bà Thủy gửi vào ngân hàng để sau $3$ năm số tiền lãi đủ để mua một chiếc xe gắn máy trị giá $30$ triệu đồng.

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $y={\sin }^{3}x+m\cos 2x+3\sin x-1$ đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$?

Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có $f(0)=0$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên.

[IMAGE_1]

Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=|f(x^2)-2x|$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-20;20]$ để bất phương trình ${\log }_3{x}^2+m\sqrt{{\log }_3{x}^3}+m+1\le 0$ có không quá $20$ nghiệm nguyên?

Gọi $a$ là số thực dương lớn hơn $1$ sao cho phương trình $a^x-1=2{\log }_a(6x+1{)}^3$ có nghiệm duy nhất. Hãy chọn khẳng định đúng?

Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính $R$ và hình nón $(N)$ nội tiếp mặt cầu $(S)$. Gọi $V$ là thể tích khối nón $(N)$. Giá trị lớn nhất của $V$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và điểm $A(0;0;2)$. Một mặt phẳng đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;a;b)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo thiết diện là hình tròn có diện tích nhỏ nhất. Độ dài $|\vec{n}|$ bằng

Cho số phức $z\ne 0$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện ${\left(\frac{z}{\bar{z}}\right)}^3$ là số thực và $|z^2-(\bar{z}{)}^2|=4\sqrt{3}$. Đặt $T=|z^2+(\bar{z}{)}^2|$. Hãy chọn khẳng định đúng.