Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính $R$ và hình nón $(N)$ nội tiếp mặt cầu $(S)$. Gọi $V$ là thể tích khối nón $(N)$. Giá trị lớn nhất của $V$ là

Cho hình trụ có đường kính đáy bằng $\sqrt{5}$. Hình vuông $ABCD$ nội tiếp hình trụ với hai điểm $A,B$ thuộc đường tròn là đáy trên và $C,D$ thuộc đường tròn đáy dưới của hình trụ và $AB<3$. Biết diện tích hình chiếu của hình vuông $ABCD$ trên mặt đáy bằng $2$ (đơn vị diện tích). Tính thể tích của khối trụ đó.

Cho hình trụ có bán kính đáy $r$. Gọi $O$ và $O^{\prime }$ là tâm của hai đường tròn đáy với $O{O}^{\prime }=2r$. Một mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại $O$ và $O^{\prime }$. Gọi $V_c$ và $V_t$ lần lượt là thể tích của khối cầu và khối trụ. Khi đó $\frac{V_c}{V_t}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+2=0$. Gọi $(N)$ là hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp trong mặt cầu $(S)$ và $(T)$ là hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất nội tiếp bên trong hình nón (tham khảo hình vẽ). Khi đó, điểm nào dưới đây có thể thuộc đường tròn đáy của hình trụ?

Một khúc gỗ có dạng khối nón có bán kính đáy r  30cm chiều cao h  120cm. Anh thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ sau: Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ dạng khối trụ có thể chế tác được. Tính V .

Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 8cm và một hình tròn có bán kính 5cm được xếp chồng lên nhau sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ bên. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY . 260π 290π 580π 520π

Hình trụ nằm trong mặt cầu bán kính $R=4$, có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).