Gọi $a$ là số thực dương lớn hơn $1$ sao cho phương trình $a^x-1=2{\log }_a(6x+1{)}^3$ có nghiệm duy nhất. Hãy chọn khẳng định đúng?

Phương trình viết lại là $a^x-1=6{\log }_a(6x+1)$. Vì $x=0$ luôn là một nghiệm và hàm số $y=a^x-1$ lõm (đạo hàm cấp hai dương), còn hàm số $y=6{\log }_a(6x+1)$ lồi (đạo hàm cấp hai âm) trên $\left(-\frac{1}{6};+\infty \right)$, nên phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hai đồ thị tiếp xúc nhau tại $x=0$. Khi đó đạo hàm hai vế tại $x=0$ bằng nhau: $\ln a=\frac{36}{\ln a}\iff \ln a=6\Rightarrow a=e^6\approx 403,43\in (10^2;10^3)$.