Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x-1}$. Biết $F(2)=1$, giá trị của $F(3)$ bằng

Một quần thể vi khuẩn ban đầu có $500$ con. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ ($t\ge 0$). Tốc độ tăng trưởng vi khuẩn của quần thể này tại thời điểm $t$ được cho bởi hàm số $P^{\prime }(t)=kt$, trong đó $k$ là một hằng số. Biết rằng sau $2$ giờ, số lượng vi khuẩn của quần thể tăng lên thành $1200$ vi khuẩn.

Cho hàm số $f(x)=e^x+2$. Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ biết $F(0)=2$.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=4x^3$ trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $F(0)=1$. Tính $F(2)$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2{\sin }^{2}x+1& \text{khi }x<0\\ 2^x& \text{khi }x\ge 0\end{array}$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $F(1)=\frac{2}{\ln 2}$. Tính $F(-\pi )$.

Một trung tâm y tế được cấp một lô $10000$ liều vắc-xin viêm não Nhật Bản để tiêm cho người dân trong vòng $30$ ngày. Gọi $M(t)$ là số liều vắc-xin còn lại chưa sử dụng sau $t$ ngày, với $0\le t\le 30$. Sau đúng $30$ ngày, trung tâm còn lại $280$ liều vắc-xin để dự phòng. Qua thống kê, tốc độ tiêm chủng tại thời điểm $t$ tỉ lệ thuận với bình phương thời gian còn lại, tức là $-M^{\prime }(t)=k(30-t{)}^2$, $k>0$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=1$ và $f^{\prime }(x)=2x\cdot f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Giá trị của $f(2)$ bằng