Một trung tâm y tế được cấp một lô $10000$ liều vắc-xin viêm não Nhật Bản để tiêm cho người dân trong vòng $30$ ngày. Gọi $M(t)$ là số liều vắc-xin còn lại chưa sử dụng sau $t$ ngày, với $0\le t\le 30$. Sau đúng $30$ ngày, trung tâm còn lại $280$ liều vắc-xin để dự phòng. Qua thống kê, tốc độ tiêm chủng tại thời điểm $t$ tỉ lệ thuận với bình phương thời gian còn lại, tức là $-M^{\prime }(t)=k(30-t{)}^2$, $k>0$.

a) Từ giả thiết, ta có: $M^{\prime }(t)=-k(30-t{)}^2$. Lấy nguyên hàm hai vế theo biến $t$:
$M(t)=\int -k(30-t{)}^{2}dt=\int k(30-t{)}^{2}d(30-t)=\frac{k}{3}(30-t{)}^3+C$. Mệnh đề a) ĐÚNG.
b) Tại thời điểm ban đầu $t=0$: $M(0)=10000\Rightarrow \frac{k}{3}(30{)}^3+C=10000\Rightarrow 9000k+C=10000$.
Sau đúng $30$ ngày ($t=30$): $M(30)=280\Rightarrow \frac{k}{3}(0{)}^3+C=280\Rightarrow C=280$.
Thay $C=280$ vào phương trình đầu: $9000k+280=10000\Rightarrow 9000k=9720\Rightarrow k=1,08$. Mệnh đề b) ĐÚNG.
c) Hàm số hoàn chỉnh là $M(t)=0,36(30-t{)}^3+280$. Tại thời điểm $t=20$:
$M(20)=0,36(30-20{)}^3+280=0,36\cdot 10^3+280=360+280=640$ (liều) $\ne 460$ liều. Mệnh đề c) SAI.
d) Tại thời điểm $t=15$: $M(15)=0,36(30-15{)}^3+280=0,36\cdot 3375+280=1495$ (liều).
Số liều vắc-xin đã tiêm trong $15$ ngày đầu: $M(0)-M(15)=10000-1495=8505$ (liều).
Tốc độ tiêm chủng trung bình: $\frac{8505}{15}=567$ (liều/ngày). Mệnh đề d) ĐÚNG.