Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x+\cos x$ thỏa mãn $F(0)=1$. Hàm số $F(x)$ là

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f^{\prime }(x)+xf(x)=2x{e}^{-x^2}$ và $f(0)=-2$. Tính $f(1)$.

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=6x+\sin 3x$, biết $F(0)=\frac{2}{3}$.

Một viên đạn được bắn lên trời với vận tốc là $72\text{ (m/s)}$ bắt đầu từ độ cao $2\text{ m}$. Hãy xác định chiều cao của viên đạn sau thời gian $5\text{ s}$ kể từ lúc bắn biết gia tốc trọng trường là $9,8{\text{ (m/s}}^2\text{)}$ (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một bể chứa dầu ban đầu có $50.000$ lít dầu. Gọi $V(t)$ là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ ($0\le t\le 24$). Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số $V^{\prime }(t)=k\cdot \sqrt{t}$, với $k$ là hằng số dương. Sau $4$ giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $58.000$ lít.

Tại một hệ thống phân phối điện thoại di động, lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng/sản phẩm) của một dòng điện thoại thông minh được mô hình hóa bởi hàm số $P^{\prime }(x)=-0,002x+4$. Trong đó, $P(x)$ là hàm tổng lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) thu được khi bán ra $x$ sản phẩm ($x\ge 0$). Biết rằng lợi nhuận bằng $0$ khi chưa bán được sản phẩm nào. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=\frac{\ln (x+3)}{x^2}$ sao cho $F(-2)+F(1)=0$. Giá trị của $F(-1)+F(3)$ bằng