Một bể chứa dầu ban đầu có $50.000$ lít dầu. Gọi $V(t)$ là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ ($0\le t\le 24$). Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số $V^{\prime }(t)=k\cdot \sqrt{t}$, với $k$ là hằng số dương. Sau $4$ giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $58.000$ lít.

Tại một hệ thống phân phối điện thoại di động, lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng/sản phẩm) của một dòng điện thoại thông minh được mô hình hóa bởi hàm số $P^{\prime }(x)=-0,002x+4$. Trong đó, $P(x)$ là hàm tổng lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) thu được khi bán ra $x$ sản phẩm ($x\ge 0$). Biết rằng lợi nhuận bằng $0$ khi chưa bán được sản phẩm nào. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=\frac{\ln (x+3)}{x^2}$ sao cho $F(-2)+F(1)=0$. Giá trị của $F(-1)+F(3)$ bằng

Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng hàm số f ( x ) có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là f ' ( x ) = 3e3 x + 2 và
f ( 0 ) = 2.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=|1+x|-|1-x|$ trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $F(1)=3$. Tính tổng $F(0)+F(2)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0;-1\}$ thỏa mãn điều kiện $f(1)=2\ln 2$ và $x(x+1)f^{\prime }(x)+f(x)=x^2+3x+2$. Giá trị $f(2)=a+b\ln 3$, với $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính $a^2+b^2$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=\sin x-9\cos 3x,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2$, khi đó $F(\pi )$ bằng