Cho tứ diện $S.ABC$ có các cạnh $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc và $SA=SB=SC=1$. Gọi $\alpha$ là góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$. Tính $\cos \alpha$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ với $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với $(ABCD)$, $SA=AB\sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$ bằng

Cắt hình nón đỉnh $S$ bởi mặt phẳng qua trục của nó ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $2a$. Gọi $BC$ là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt đáy một góc bằng $60^{\circ }$. Tính diện tích tam giác $SBC$.

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, $\widehat{BAD}=120^{\circ }$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt đáy trùng với tâm của đáy. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $BD$ và vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$ cắt $SC$ tại $E$. Giả sử tỉ số thể tích của khối chóp $S.ABCD$ và thể tích khối chóp $B.DCE$ bằng $k$. Giá trị của $k$ thuộc khoảng nào sau đây để góc tạo bởi mặt phẳng $(SBC)$ và mặt đáy bằng $60^{\circ }$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $4$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$, có diện tích bằng $6$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính côsin của góc nhị diện $[S;AC;D]$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều, $SA$ vuông góc với đáy và $AB=2SA$ (tham khảo hình vẽ):


Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng

Cho khối lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $A{A}^{\prime }=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C^{\prime }BD)$ bằng