Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0;-1\}$ thỏa mãn điều kiện $f(1)=2\ln 2$ và $x(x+1)f^{\prime }(x)+f(x)=x^2+3x+2$. Giá trị $f(2)=a+b\ln 3$, với $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính $a^2+b^2$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=\sin x-9\cos 3x,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2$, khi đó $F(\pi )$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f(x)+f^{\prime }(x)=x-2,\forall x\in [0;1]$. Giá trị của ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2-2x+1$ thoả mãn $F(0)=2$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50 m. Người lái xe phải xử lý mất 2 giây mới đưa ra được quyết định đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t)=-10t+20$ (m/s), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

Cho hàm số $f(x)$ có $f(1)=2-2\sqrt{2}$ và $f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}$ với $x>0$. Khi đó ${\int }_1^{3}f(x)dx$ bằng

Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ $1^{\circ }\text{C}$. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm $t$ phút ($0\le t\le 5$) được cho bởi hàm số $f(t)=3t^2$ (${}^{\circ }\text{C}$/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm $t$ là một nguyên hàm của hàm số $f(t)$. Tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm $3$ phút kể từ khi truyền nhiệt.