Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z-3i|=5$ và $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo?

Điều kiện: $z\ne 4$. Đặt $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$.
Phương trình $|z-3i|=5⟺x^2+(y-3{)}^2=25⟺x^2+y^2-6y=16$ (1).
Ta có:
$\frac{z}{z-4}=\frac{x+yi}{x-4+yi}=\frac{(x+yi)(x-4-yi)}{(x-4{)}^2+y^2}=\frac{x(x-4)+y^2-4yi}{(x-4{)}^2+y^2}=\frac{x^2-4x+y^2}{(x-4{)}^2+y^2}-\frac{4y}{(x-4{)}^2+y^2}i$.
Số phức $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0:
$x^2-4x+y^2=0$ và $(x-4{)}^2+y^2\ne 0$ (2).
Từ (1) và (2), trừ hai phương trình theo vế:
$4x-6y=16⟺2x-3y=8⟺x=\frac{3y+8}{2}$.
Thế vào (2):
${\left(\frac{3y+8}{2}\right)}^2-4\left(\frac{3y+8}{2}\right)+y^2=0⟺\frac{9y^2+48y+64}{4}-6y-16+y^2=0$
$⟺13y^2+24y=0⟺[<table><tbody><tr><td>y=0⟹x=4\text{ (loại do }z\ne 4\text{)}</td></tr><tr><td>y=-\frac{24}{13}⟹x=\frac{16}{13}</td></tr></tbody></table>$
Vậy chỉ có duy nhất 1 số phức thỏa mãn là $z=\frac{16}{13}-\frac{24}{13}i$. Chọn C.