Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=8$. Đường thẳng $d$ thay đổi, đi qua điểm $M$, cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Tính diện tích lớn nhất $S$ của tam giác $OAB$.


Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Ta có $OM=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+0^2}=1<R$, nên điểm $M$ nằm bên trong mặt cầu $(S)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên đường thẳng $d$, ta có $OH\le OM=1$. Đặt $h=OH\in (0;1]$.
Độ dài dây cung $AB=2AH=2\sqrt{R^2-h^2}=2\sqrt{8-h^2}$.
Diện tích tam giác $OAB$ là:
$S=\frac{1}{2}OH\cdot AB=h\sqrt{8-h^2}=\sqrt{h^2(8-h^2)}$.
Xét hàm số $g(h)=8h^2-h^4$ với $h\in (0;1]$.
Đạo hàm $g^{\prime }(h)=16h-4h^3=4h(4-h^2)>0$ với mọi $h\in (0;1]$.
Do đó hàm số $g(h)$ đồng biến trên $(0;1]$, suy ra giá trị lớn nhất đạt tại $h=1$ (khi $H\equiv M$, tức $d\perp OM$):
$\max S=g(1{)}^{1/2}=\sqrt{8\cdot 1-1}=\sqrt{7}$. Chọn A.