Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $2a$, gọi $M$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $P$ thuộc cạnh $D{D}^{\prime }$ sao cho $DP=\frac{1}{4}D{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(AMP)$ cắt $C{C}^{\prime }$ tại $N$. Thể tích khối đa diện $AMNPBCD$ bằng



Áp dụng công thức tỉ số thể tích khối đa diện trong hình hộp:
Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, mặt phẳng đi qua các điểm $A,M\in B{B}^{\prime },N\in C{C}^{\prime },P\in D{D}^{\prime }$ (trong đó $M,N,P$ đồng phẳng với $A$).
Tỉ số thể tích của khối đa diện $AMNP.ABCD$ so với toàn bộ khối hộp là:
$\frac{V_{AMNP.ABCD}}{V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}}=\frac{1}{2}\left(\frac{AA}{A{A}^{\prime }}+\frac{CN}{C{C}^{\prime }}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{BM}{B{B}^{\prime }}+\frac{DP}{D{D}^{\prime }}\right)$.
Vì $M$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$ nên $\frac{BM}{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}$.
Vì $DP=\frac{1}{4}D{D}^{\prime }$ nên $\frac{DP}{D{D}^{\prime }}=\frac{1}{4}$.
Suy ra:
$\frac{V_{AMNP.ABCD}}{V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{8}$.
Thể tích khối lập phương ban đầu là $V=(2a{)}^3=8a^3$.
Do đó thể tích khối đa diện $AMNPBCD$ là:
$V_{AMNPBCD}=\frac{3}{8}\cdot 8a^3=3a^3$. Chọn B.