Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z+3=0$. Gọi $M$ là điểm thuộc đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $2$. Nếu điểm $M$ có hoành độ âm thì tung độ của điểm $M$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $x+2y-2z-12=0$ bằng

Trong không gian toạ độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$, $D(1;2;-1)$, với $a,b,c$ là các số thực khác $0$. Biết rằng bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng, khi khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là lớn nhất, giá trị $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A(1;2;3)$; $B(3;-1;1)$ và song song với đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{1}$. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng $(P)$ bằng

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $2$, hình chiếu của $A^{\prime }$ trên $(ABC)$ trùng với trung điểm $M$ của $AB$; góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Gọi $N$ là trung điểm của $C{C}^{\prime }$. Tính khoảng cách từ $B^{\prime }$ tới mặt phẳng $(A^{\prime }MN)$ *(không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm)*.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;-1),B(2;3;-4)$ và mặt phẳng $(P):x-2y-z+6=0$. Xét điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ thuộc $(P)$ sao cho biểu thức $|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S=x_0+y_0+z_0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3),B(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P):x+2y+3z-6=0$. Điểm $M(a;b;c)\in (P)$ sao cho $M{A}^2+M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $a+b+c$ bằng