Trong không gian $Oxyz$ thuộc hệ thống định vị GPS, bề mặt Trái Đất được mô hình hoá bởi mặt cầu $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-2{)}^2=9$. Hai vệ tinh truyền tín hiệu ở vị trí có tọa độ $M(4;-4;2),N(6;0;6)$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Mặt cầu có tâm $I(1;2;2)$ và bán kính $R=3$.
a) $IM=\sqrt{3^2+(-6{)}^2+0^2}=3\sqrt{5}$ và $IN=\sqrt{5^2+(-2{)}^2+4^2}=3\sqrt{5}$, nên hai vệ tinh cách đều tâm $I$. Sai.
b) Ta có $\overrightarrow{IM}=(3;-6;0),\overrightarrow{IN}=(5;-2;4)\Rightarrow [\overrightarrow{IM},\overrightarrow{IN}]=(-24;-12;24)=-12(2;1;-2)$. Mặt phẳng $(IMN)$ đi qua $I(1;2;2)$ có phương trình $2(x-1)+(y-2)-2(z-2)=0\iff 2x+y-2z=0$. Đúng.
c) $\overrightarrow{MN}=(2;4;4)=2(1;2;2)$ nên đường thẳng $MN$ đi qua $M(4;-4;2)$ có phương trình chính tắc $\frac{x-4}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-2}{2}$. Đúng.
d) Khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến bề mặt Trái Đất là $(IM-R)\cdot 2100=(3\sqrt{5}-3)\cdot 2100\approx 7787,23\text{ (km)}$. Thời gian truyền tín hiệu là $t=\frac{7787,23}{3\cdot 10^5}\approx 0,026\text{ (s)}$. Đúng.