Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;-1),B(2;3;-4)$ và mặt phẳng $(P):x-2y-z+6=0$. Xét điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ thuộc $(P)$ sao cho biểu thức $|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S=x_0+y_0+z_0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3),B(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P):x+2y+3z-6=0$. Điểm $M(a;b;c)\in (P)$ sao cho $M{A}^2+M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $a+b+c$ bằng

Trong một mô hình nông nghiệp công nghệ cao, một tấm pin năng lượng mặt trời phẳng được lắp đặt nghiêng sao cho bề mặt của nó nằm trên mặt phẳng $(P):2x+2y+z-6=0$ (xét trong hệ không gian tọa độ $Oxyz$ với đơn vị đo là mét, mặt phẳng $(Oxy)$ được xem là mặt đất phẳng). Người ta lắp đặt một robot cố định ở trên cao để kiểm tra bụi bẩn. Robot có mắt phát tia laser tại điểm $S(1;1;6)$. Robot thực hiện quét tia laser trên bề mặt tấm pin. Tại một thời điểm tia laser được chiếu theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2;-2)$ và chạm vào bề mặt tấm pin tại điểm $M$.

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; 2;3) , B ( 0;1;0 ) , C (1;0; -2 ) và mặt phẳng
( P ) : x + y + z + 2 = 0 . Điểm M ( a; b; c ) nằm trên mặt phẳng ( P ) thỏa mãn hệ thức
MA2 + 2 MB 2 + 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức T = a - b + 9c bằng

13 13

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(3;4;1)$ tới mặt phẳng $(Oyz)$ bằng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $A(1;1;3),B(-1;3;2),C(-1;2;3)$. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(P):2x-y+2z+12=0$ bằng