Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $x+2y-2z-12=0$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A(1;2;3)$; $B(3;-1;1)$ và song song với đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{1}$. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng $(P)$ bằng

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $2$, hình chiếu của $A^{\prime }$ trên $(ABC)$ trùng với trung điểm $M$ của $AB$; góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Gọi $N$ là trung điểm của $C{C}^{\prime }$. Tính khoảng cách từ $B^{\prime }$ tới mặt phẳng $(A^{\prime }MN)$ *(không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm)*.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;-1),B(2;3;-4)$ và mặt phẳng $(P):x-2y-z+6=0$. Xét điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ thuộc $(P)$ sao cho biểu thức $|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S=x_0+y_0+z_0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3),B(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P):x+2y+3z-6=0$. Điểm $M(a;b;c)\in (P)$ sao cho $M{A}^2+M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $a+b+c$ bằng

Trong một mô hình nông nghiệp công nghệ cao, một tấm pin năng lượng mặt trời phẳng được lắp đặt nghiêng sao cho bề mặt của nó nằm trên mặt phẳng $(P):2x+2y+z-6=0$ (xét trong hệ không gian tọa độ $Oxyz$ với đơn vị đo là mét, mặt phẳng $(Oxy)$ được xem là mặt đất phẳng). Người ta lắp đặt một robot cố định ở trên cao để kiểm tra bụi bẩn. Robot có mắt phát tia laser tại điểm $S(1;1;6)$. Robot thực hiện quét tia laser trên bề mặt tấm pin. Tại một thời điểm tia laser được chiếu theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2;-2)$ và chạm vào bề mặt tấm pin tại điểm $M$.

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; 2;3) , B ( 0;1;0 ) , C (1;0; -2 ) và mặt phẳng
( P ) : x + y + z + 2 = 0 . Điểm M ( a; b; c ) nằm trên mặt phẳng ( P ) thỏa mãn hệ thức
MA2 + 2 MB 2 + 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức T = a - b + 9c bằng

13 13