Có $3$ hộp đựng bi: Hộp I có $3$ bi trắng và $2$ bi đen. Hộp II có $1$ bi trắng và $4$ bi đen. Hộp III có $4$ bi đen.

Người ta gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất.
• Nếu con xúc xắc xuất hiện mặt chẵn thì lấy ngẫu nhiên đồng thời $2$ viên bi từ hộp I bỏ vào hộp II; sau đó lắc đều hộp II và lấy ngẫu nhiên đồng thời ra $2$ viên bi.
• Nếu con xúc xắc xuất hiện mặt lẻ thì lấy ngẫu nhiên đồng thời $2$ viên bi từ hộp I bỏ vào hộp III; sau đó lắc đều hộp III và lấy ngẫu nhiên đồng thời ra $2$ viên bi.
Biết rằng $2$ viên bi lấy ra ở bước cuối cùng là $2$ viên bi màu đen. Tính xác suất để con xúc xắc xuất hiện mặt chẵn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $E$ là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt chẵn ($P(E)=0,5$) và $O$ là biến cố xuất hiện mặt lẻ ($P(O)=0,5$). Gọi $B_2$ là biến cố $2$ viên bi lấy ra cuối cùng đều màu đen.
- Tính $P(B_2|E)$ (chuyển $2$ bi từ Hộp I sang Hộp II rồi lấy $2$ bi từ Hộp II gồm $7$ bi):
+ Chuyển $2$ trắng (xác suất $\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$): Hộp II có $3$ trắng, $4$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_4^2}{C_7^2}=\frac{6}{21}$.
+ Chuyển $1$ trắng, $1$ đen (xác suất $\frac{C_3^1{C}_2^1}{C_5^2}=\frac{6}{10}$): Hộp II có $2$ trắng, $5$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_5^2}{C_7^2}=\frac{10}{21}$.
+ Chuyển $2$ đen (xác suất $\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$): Hộp II có $1$ trắng, $6$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_6^2}{C_7^2}=\frac{15}{21}$.
Do đó $P(B_2|E)=\frac{3}{10}\cdot \frac{6}{21}+\frac{6}{10}\cdot \frac{10}{21}+\frac{1}{10}\cdot \frac{15}{21}=\frac{93}{210}=\frac{31}{70}$.
- Tính $P(B_2|O)$ (chuyển $2$ bi từ Hộp I sang Hộp III rồi lấy $2$ bi từ Hộp III gồm $6$ bi):
+ Chuyển $2$ trắng (xác suất $\frac{3}{10}$): Hộp III có $2$ trắng, $4$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{6}{15}$.
+ Chuyển $1$ trắng, $1$ đen (xác suất $\frac{6}{10}$): Hộp III có $1$ trắng, $5$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_5^2}{C_6^2}=\frac{10}{15}$.
+ Chuyển $2$ đen (xác suất $\frac{1}{10}$): Hộp III có $6$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $1$.
Do đó $P(B_2|O)=\frac{3}{10}\cdot \frac{6}{15}+\frac{6}{10}\cdot \frac{10}{15}+\frac{1}{10}\cdot 1=\frac{93}{150}=\frac{31}{50}$.
Áp dụng công thức Bayes:
$P(E|B_2)=\frac{0,5\cdot \frac{31}{70}}{0,5\cdot \frac{31}{70}+0,5\cdot \frac{31}{50}}=\frac{\frac{1}{70}}{\frac{1}{70}+\frac{1}{50}}=\frac{5}{12}\approx 0,42$.
Đáp số: 0,42.