Cho đồ thị của các hàm số $f(x)=-x^4+x$, $g(x)=x^4-x^3$ và $h(x)=a(x-x^2)$ ($a\in \mathbb{R}$) tạo thành hai miền hình phẳng có diện tích $S_1,S_2$ như hình vẽ ($S_1$ là phần màu trắng, $S_2$ là phần được tô màu). Biết $S_1=2S_2$, hỏi giá trị của biểu thức $1-30a$ bằng bao nhiêu?

Phương trình hoành độ giao điểm của $f(x)$ và $g(x)$:
$-x^4+x=x^4-x^3\iff 2x^4-x^3-x=0\iff x(x-1)(2x^2+x+1)=0\iff x=0$ hoặc $x=1$.
Diện tích tổng cộng của hai miền phẳng $S=S_1+S_2$ giới hạn từ $x=0$ đến $x=1$:
$S={\int }_0^1(f(x)-g(x))dx={\int }_0^1(-2x^4+x^3+x)dx={\left[-\frac{2}{5}{x}^5+\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1=-\frac{2}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{7}{20}$.
Theo giả thiết $S_1=2S_2\Rightarrow S=3S_2\Rightarrow S_2=\frac{1}{3}S=\frac{7}{60}$.
Miền $S_2$ được giới hạn bởi đồ thị $h(x)$ ở phía trên và $g(x)$ ở phía dưới từ $x=0$ đến $x=1$:
$S_2={\int }_0^1(h(x)-g(x))dx={\int }_0^1\left(a(x-x^2)-(x^4-x^3)\right)dx=a{\left[\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1-{\left[\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{4}{x}^4\right]}_0^1=\frac{a}{6}+\frac{1}{20}$.
Đồng nhất hai kết quả của $S_2$:
$\frac{a}{6}+\frac{1}{20}=\frac{7}{60}\Rightarrow \frac{a}{6}=\frac{4}{60}=\frac{1}{15}\Rightarrow a=\frac{2}{5}$.
Giá trị của biểu thức $1-30a=1-30\cdot \frac{2}{5}=1-12=-11$.
Đáp số: -11.