Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đường thẳng $(d):g(x)=ax+b$ có đồ thị như hình vẽ.



Biết diện tích miền tô đậm bằng $\frac{37}{12}$ và ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{19}{12}$. Tích phân ${\int }_{-1}^{0}x\cdot f^{\prime }(2x)dx$ bằng

Nếu ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx=3,{\int }_{-1}^{2}g(x)dx=5$ thì ${\int }_{-1}^2[2g(x)-3f(x)]dx$ bằng

Biết ${\int }_1^e\frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}dx=\frac{a-b\sqrt{p}}{c}$ với $a,b,c,p$ là các số nguyên dương, đồng thời ước chung lớn nhất của $a$ và $c$ bằng $1$. Tính số ước nguyên dương của $S=abc$.

Nếu ${\int }_1^{3}f(x)dx=5$ thì ${\int }_1^3(2x+1-f(x))dx$ bằng bao nhiêu?

Cho hai hàm đa thức bậc $4$ và bậc $3$ là $y=f(x),y=g(x)$ (hình vẽ dưới đây chỉ mang tính chất minh họa). Biết rằng hai đồ thị $y=g(x),y=f(x)$ tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng $1$ và cắt nhau tại $2$ điểm khác có hoành độ lần lượt là $-2;0$. Gọi $S_1,S_2$ lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên ở nửa mặt phẳng bên trái và nửa bên phải của trục tung. Khi $S_2=\frac{2}{15}$ thì

Tính $I={\int }_1^{2}2x\mathrm{d}x$.

Cho ${\int }_0^{3}f(x)\mathrm{d}x=-2$ và ${\int }_3^{5}f(x)\mathrm{d}x=3$. Tính tích phân $L={\int }_0^5[2f(x)]\mathrm{d}x$.