Trong mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$, cho elip $(E)$ có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$. Tiêu cự của elip $(E)$ bằng

Người ta bơm nước vào một cái thùng nhựa đựng nước như hình 1 với hai đáy là hai đường tròn có bán kính $30\text{ cm},15\text{ cm}$, chiều cao thùng là $30\text{ cm}$. Mặt phẳng cắt đi qua trục của chậu nước chứa đường kính bất kỳ hai đáy có thiết diện như hình 2 với phần đường cong là một parabol. Biết vận tốc bơm nước vào thùng là $20\text{ lıˊt/phuˊt}$. Tính vận tốc nước dâng ở bề mặt cong của thùng nhựa khi độ cao mực nước là $10\text{ cm}$? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh $20\text{ cm}$ bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng một nửa elip như hình bên. Biết một nửa trục lớn $AB=6\text{ cm}$, trục bé $CD=8\text{ cm}$. Diện tích bề mặt hoa văn đó bằng

Hình vẽ dưới đây mô tả một cây cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol nối hai điểm $A,B$ và nhận đường trung trực của đoạn $AB$ làm trục đối xứng, $AB=400\text{ m}$. Khoảng cách từ đỉnh cây cầu đến $AB$ bằng $8\text{ m}$. Xét tiếp tuyến $d$ tại điểm $M$ trên mặt cầu, người ta quy ước $\tan (\Delta ,d)$ là độ dốc tại $M$ của mặt cầu, với $\Delta$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$. Độ dốc lớn nhất của mặt cầu là bao nhiêu?

Một công ty quảng cáo $X$ muốn làm bức tranh trang trí hình $MNEIF$ ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có chiều cao $BC=6\text{ m}$, chiều dài $CD=12\text{ m}$ (hình vẽ bên dưới). Cho biết $MNEF$ là hình chữ nhật có $MN=4\text{ m}$, cung $EIF$ có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh $I$ là trung điểm của cạnh $AB$ và đi qua $2$ điểm $C,D$. Kinh phí làm bức tranh là $600000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$.

Hỏi công ty $X$ cần bao nhiêu triệu đồng để làm bức tranh đó? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là $AB=8$ m. Người ra treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh $M,N$ nằm trên Parabol và hai đỉnh $P,Q$ nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí hoa, biết $MN=4$ m, $MQ=6$ m. Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa (phần không tô đen) là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Tọa độ giao điểm của đường thẳng $d:y=-x+4$ và parabol $y=x^2-7x+12$ là