Hình vẽ dưới đây mô tả một cây cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol nối hai điểm $A,B$ và nhận đường trung trực của đoạn $AB$ làm trục đối xứng, $AB=400\text{ m}$. Khoảng cách từ đỉnh cây cầu đến $AB$ bằng $8\text{ m}$. Xét tiếp tuyến $d$ tại điểm $M$ trên mặt cầu, người ta quy ước $\tan (\Delta ,d)$ là độ dốc tại $M$ của mặt cầu, với $\Delta$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$. Độ dốc lớn nhất của mặt cầu là bao nhiêu?

Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là $AB=8$ m. Người ra treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh $M,N$ nằm trên Parabol và hai đỉnh $P,Q$ nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí hoa, biết $MN=4$ m, $MQ=6$ m. Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa (phần không tô đen) là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Thầy Nguyên muốn cải thiện thu nhập bằng cách kinh doanh thêm đồ uống trà sữa. Sau khi khảo sát thị trường, thầy ước tính là nếu giá 1 ly trà sữa 20 (ngàn đồng) thì trung bình hàng tháng có khoảng 1000 lượt khách tới uống nước tại quán, trung bình mỗi khách lại trả thêm 10 (ngàn đồng) tiền bánh tráng trộn để ăn kèm. Nay thầy muốn tăng thêm mỗi ly trà sữa 5 (ngàn đồng) thì sẽ mất khoảng 100 khách trong tổng số trung bình. Hỏi giá 1 ly trà sữa nên là bao nhiêu nghìn đồng để tổng thu nhập lớn nhất (giả sử tổng thu chưa trừ vốn)?

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm ($0<x<3000$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x)=3000x-x^2$ (nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x)=x^2+1440x+50$ (nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho 1 đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (nghìn đồng) ($0<t<1000$). Hỏi mức thuế phụ thu $t$ (trên 1 đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu nghìn đồng sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó?

Một sân điền kinh gồm hai sân hình bán nguyệt có bán kính $x\text{ (m)}$ ($x>0$) và một sân hình chữ nhật như hình vẽ. Biết chu vi của sân điền kinh là $400\text{ m}$, tìm diện tích lớn nhất của sân hình chữ nhật theo mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là $2,25$ mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là $3$ mét. Giá làm cửa mỗi mét vuông là $1500000$ đồng. Vậy bác Năm phải trả bao nhiêu nghìn đồng?

Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được $1$ tấn rau. Mỗi ngày, nếu giá bán rau là $30000$ đồng/kg thì bán hết rau, mỗi lần tăng giá bán rau $1000$ đồng/kg thì số rau thừa tăng $20\text{kg}$. Số rau thừa này được thu mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá $2000$ đồng/kg. Hỏi để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán rau với giá bao nhiêu nghìn đồng?