Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2{\sin }^{2}x+1& \text{khi }x<0\\ 2^x& \text{khi }x\ge 0\end{array}$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $F(1)=\frac{2}{\ln 2}$. Tính $F(-\pi )$.

Một trung tâm y tế được cấp một lô $10000$ liều vắc-xin viêm não Nhật Bản để tiêm cho người dân trong vòng $30$ ngày. Gọi $M(t)$ là số liều vắc-xin còn lại chưa sử dụng sau $t$ ngày, với $0\le t\le 30$. Sau đúng $30$ ngày, trung tâm còn lại $280$ liều vắc-xin để dự phòng. Qua thống kê, tốc độ tiêm chủng tại thời điểm $t$ tỉ lệ thuận với bình phương thời gian còn lại, tức là $-M^{\prime }(t)=k(30-t{)}^2$, $k>0$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=1$ và $f^{\prime }(x)=2x\cdot f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Giá trị của $f(2)$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$, có $f(1)=5$ và $f^{\prime }(x)=6x-2,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=0$, khi đó số nghiệm nguyên dương của bất phương trình $F(x)\le 18$ là

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{3}\right\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{3}{3x-1},f(0)=1$ và $f\left(\frac{2}{3}\right)=2$. Giá trị của biểu thức $f(-1)+f(3)$ bằng

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hs $f(x)=\frac{1}{x-3}$, biết $F(2)=5$. Giá trị của $F(0)$ bằng

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x+\cos x$ thỏa mãn $F(0)=1$. Hàm số $F(x)$ là