Cho hai số phức $z$ và $w$ thay đổi thỏa mãn các điều kiện $|z+1+i|=|z|$ và $|w-3-4i|=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z-w-1-i|$.

Chọn D.
Đặt $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$. Điều kiện $|z+1+i|=|z|⟺(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=x^2+y^2⟺x+y+1=0$.
Do đó điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thuộc đường thẳng $\Delta :x+y+1=0$.
Đặt $w^{\prime }=w+1+i$, khi đó $|w^{\prime }-(4+5i)|=|w-3-4i|=1$, nên điểm $N$ biểu diễn số phức $w^{\prime }$ thuộc đường tròn $(C)$ có tâm $I(4;5)$ và bán kính $R=1$.
Ta có $P=|z-w^{\prime }|=MN\ge d(I,\Delta )-R=\frac{|4+5+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}-1=5\sqrt{2}-1$.