Cho $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$ là số phức thỏa mãn điều kiện $|\bar{z}+2-3i|\le |z+i-2|\le 5$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+y^2+8x+6y+5$. Tính $M+m$.

Điều kiện $|\bar{z}+2-3i|\le |z-2+i|\iff (x+2{)}^2+(-y-3{)}^2\le (x-2{)}^2+(y+1{)}^2\iff 8x+4y+8\le 0\iff 2x+y+2\le 0$, và $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2\le 25$. Miền nghiệm là nửa hình tròn tâm $I(2;-1)$, bán kính $R=5$ bị cắt bởi đường thẳng $d:2x+y+2=0$ tại $A(0;-2)$ và $B(-2;2)$. Ta có $P=(x+4{)}^2+(y+3{)}^2-20=K{M}^2-20$ với $K(-4;-3)$. Điểm $K$ nằm ngoài hình tròn, đoạn $KI$ vuông góc với $d$ có $KI=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$, nên $\max KM=KI+R=2\sqrt{10}+5$ (không thuộc nửa mặt phẳng $2x+y+2\le 0$), giá trị lớn nhất trên miền là tại $B(-2;2)$ với $P(B)=(-2+4{)}^2+(2+3{)}^2-20=9$, và giá trị nhỏ nhất đạt tại giao điểm của đoạn $KI$ với đường tròn là $m=(2\sqrt{10}-5{)}^2-20=45-20\sqrt{10}$. Khi đó $M+m=60-20\sqrt{10}$.