Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=9$ và ba điểm $A(1;0;0);B(2;1;3);C(0;2;-3)$. Biết rằng quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn $M{A}^2+2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=8$ là một đường tròn cố định, tính diện tích của hình tròn này.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-3;-4)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là mét), mặt sân quảng trường trùng với mặt phẳng $(Oxy)$. Một tác phẩm nghệ thuật hình cầu $(S)$ có phương trình
$(x+10\sqrt{3}{)}^2+y^2+(z-30{)}^2=100$.
Xét tại thời điểm 14h, lúc này phương của các tia nắng mặt trời được xác định bởi vectơ $\vec{u}=(1;0;-\sqrt{3})$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, lập phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)$

Thể tích của khối cầu có bán kính bằng $r$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-4}{3}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+5}{-2}$ và ${\Delta }_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z}{1}$. Trong tất cả mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$. Gọi $(S)$ là mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ có bán kính nhỏ nhất. Tính $a-b+c$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-3{)}^2=8$ và hai điểm $A(4;4;3),B(1;1;1)$. Gọi $(C_1)$ là tập hợp các điểm $M\in (S)$ sao cho $|MA-2MB|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng $(C_1)$ là một đường tròn. Tính chu vi đường tròn $(C_1)$.