Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x);y=f^{\prime }(x)$ có diện tích bằng

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn ${\int }_{-2}^{1}f(x)\text{d}x=2$. Tính ${\int }_{-2}^1(1+f(x))\text{d}x$.

Cho ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=3$ và ${\int }_0^{2}g(x)\text{d}x=7$, khi đó ${\int }_0^2\left[f(x)+3g(x)\right]\text{d}x$ bằng

Cho ${\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=-1;{\int }_0^{3}f(x)\text{d}x=5$. Tính ${\int }_1^{3}f(x)\text{d}x$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm liên tục trên $[2;5]$ thỏa mãn điều kiện $f(2)=1$ và $x.(x-1).f^{\prime }(x)-f(x)=x^2+2x-3$. Biết ${\int }_3^5{f}^{\prime }(x)\text{d}x=a+\frac{b}{c}\ln 2$ (với $a,b,c$ là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ tối giản). Tính $a+b-2c$

Cho hàm số $y=f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị $(C)$ đồng thời có $2$ điểm cực trị là $-1;1$. Biết Parabol $(P):y=g(x)=m{x}^2+nx+p$ đi qua hai điểm cực trị của $(C)$. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(c;p)$ thỏa mãn $c+p<10$ sao cho hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y=g(x)$ và đồ thị $(C)$ có diện tích bằng $16$ (đơn vị diện tích)?

Nếu ${\int }_0^4(f(x)+x)dx=3$ thì ${\int }_0^{4}f(x)dx$ bằng