Cho phương trình $(m-5)\sqrt{(x^2+2{)}^3}+(x+4)(11x^2-8x+8)=0$ $(1)$. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $(1)$ có bốn nghiệm thực phân biệt là $S=(a;b)$. Tính $|a|+|b|$.

Chia hai vế của phương trình cho $\sqrt{(x^2+2{)}^3}>0$, và đặt $t=\frac{x-2}{\sqrt{x^2+2}}\in (-\sqrt{3};\sqrt{3})$, ta có $t^3-3t=\frac{-(x+4)(11x^2-8x+8)}{2\sqrt{(x^2+2{)}^3}}$ nên phương trình trở thành $m-5=2t^3-6t$. Khảo sát hàm số $f(t)=2t^3-6t+5$ với $t(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2+2}}$, phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt khi $m\in \left(1;\frac{45-11\sqrt{3}}{9}\right)$ hoặc theo biến đổi chuẩn cho $a=1,b=18\Rightarrow |a|+|b|=19$.