Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[1;10]$ để bất phương trình ${\log }_2\frac{x^2+2}{3x^2+4x+m}\le x^2+4x+m-5$ nghiệm đúng với $\forall x\in \mathbb{R}$.

Bất phương trình tương đương ${\log }_2(2x^2+4)+(2x^2+4)\le {\log }_2(3x^2+4x+m)+(3x^2+4x+m)$. Xét hàm $h(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, nên bất phương trình tương đương $0<2x^2+4\le 3x^2+4x+m\iff x^2+4x+m-4\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }=4-(m-4)\le 0\iff m\ge 8$. Kết hợp $m\in [1;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta được $m\in \{8,9,10\}$, có $3$ giá trị.