Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn ${\int }_{-2}^{1}f(x)\text{d}x=2$. Tính ${\int }_{-2}^1(1+f(x))\text{d}x$.

Cho ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=3$ và ${\int }_0^{2}g(x)\text{d}x=7$, khi đó ${\int }_0^2\left[f(x)+3g(x)\right]\text{d}x$ bằng

Cho ${\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=-1;{\int }_0^{3}f(x)\text{d}x=5$. Tính ${\int }_1^{3}f(x)\text{d}x$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm liên tục trên $[2;5]$ thỏa mãn điều kiện $f(2)=1$ và $x.(x-1).f^{\prime }(x)-f(x)=x^2+2x-3$. Biết ${\int }_3^5{f}^{\prime }(x)\text{d}x=a+\frac{b}{c}\ln 2$ (với $a,b,c$ là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ tối giản). Tính $a+b-2c$

Cho hàm số $y=f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị $(C)$ đồng thời có $2$ điểm cực trị là $-1;1$. Biết Parabol $(P):y=g(x)=m{x}^2+nx+p$ đi qua hai điểm cực trị của $(C)$. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(c;p)$ thỏa mãn $c+p<10$ sao cho hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y=g(x)$ và đồ thị $(C)$ có diện tích bằng $16$ (đơn vị diện tích)?

Nếu ${\int }_0^4(f(x)+x)dx=3$ thì ${\int }_0^{4}f(x)dx$ bằng

Một nhà thiết kế mỹ thuật yêu thích môn Toán muốn trang trí một viên gạch với họa tiết như hình 1. Các đường cong thực chất là các đường parabol và đồ thị hàm bậc ba. Dựng hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình 2. Gọi hàm số bậc ba $y=f(x)$ và hàm số bậc hai $y=g(x)$ có đồ thị như trên hình.

Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt đồ thị hàm số $y=g(x)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ thoả mãn $x_1{x}_2{x}_3=-5$. Diện tích miền tô đậm bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).