Cho ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=3$ và ${\int }_0^{2}g(x)\text{d}x=7$, khi đó ${\int }_0^2\left[f(x)+3g(x)\right]\text{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_0^4(f(x)+x)dx=3$ thì ${\int }_0^{4}f(x)dx$ bằng

Một nhà thiết kế mỹ thuật yêu thích môn Toán muốn trang trí một viên gạch với họa tiết như hình 1. Các đường cong thực chất là các đường parabol và đồ thị hàm bậc ba. Dựng hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình 2. Gọi hàm số bậc ba $y=f(x)$ và hàm số bậc hai $y=g(x)$ có đồ thị như trên hình.

Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt đồ thị hàm số $y=g(x)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ thoả mãn $x_1{x}_2{x}_3=-5$. Diện tích miền tô đậm bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Biết ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=5$ và ${\int }_3^{7}f(x)\mathrm{d}x=9$. Giá trị của ${\int }_1^{7}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Biết ${\int }_1^4\ln x\mathrm{d}x=a\ln 2+b$. Giá trị của $S=a+3b$ bằng

Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[1;4]$ và $f^{\prime }(x)>0,\forall x\in [1;4]$. Biết $[x^2{f}^{\prime }(x){]}^3-2f(x)=5,\forall x\in [1;4],f(1)=\frac{3}{2}$. Giá trị của $f(4)$ bằng