Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-11=0$ và điểm $I(-3;3;1)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm là điểm $I$ và cắt mặt phẳng $(P)$ theo một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$. Phương trình của mặt cầu $(S)$ là

Trong sảnh một trung tâm hội nghị, các kiến trúc sư lắp đặt một khối cầu trang trí phản quang có mặt ngoài được mô phỏng bởi phương trình $x^2+y^2+z^2=9$ (đơn vị: mét). Một đèn chiếu điểm (spotlight) di chuyển dọc theo trục ray thẳng có phương trình $d:x-1=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-3}$. Khi đèn ở vị trí $M$, các tia sáng phát ra tiếp xúc với khối cầu. Tập hợp các tiếp điểm tạo thành một đường tròn nằm trên mặt phẳng $(P)$, là ranh giới giữa vùng sáng và vùng tối (tham khảo hình vẽ bên).

Khi đèn $M$ di chuyển đến vị trí sao cho mặt phẳng $(P)$ đi qua mắt cảm biến cố định tại $D(2;0;1)$, hãy tính khoảng cách từ đèn $M$ đến tâm khối cầu (làm tròn đến hàng phần chục của mét).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và mặt phẳng $(P):2x-2y+z+3=0$. Mặt phẳng $(\alpha )$ song song với $(P)$ và tiếp xúc với $(S)$ có phương trình là

Cho mặt cầu ( S ) có bán kính bằng 5. Một mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 8π . Khoảng cách từ tâm mặt cầu ( S ) đến mặt phẳng (α ) bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ và điểm $A(1;3;0)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua $A$, tiếp xúc với $Oxy$ và với đường thẳng $d$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ là

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $O$, bán kính $R=10$. Một mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có bán kính $r=8$. Khoảng cách từ tâm $O$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(4;1;2)$, $B(1;4;2)$, $C(1;1;5)$ và đường tròn $(C)$ là giao tuyến của mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z-3=0$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-7=0$. Biết rằng có $3$ điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho $MA+MB+MC$ lớn nhất. Tổng các hoành độ của $3$ điểm $M$ này bằng