Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ và điểm $A(1;3;0)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua $A$, tiếp xúc với $Oxy$ và với đường thẳng $d$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ là

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $O$, bán kính $R=10$. Một mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có bán kính $r=8$. Khoảng cách từ tâm $O$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(4;1;2)$, $B(1;4;2)$, $C(1;1;5)$ và đường tròn $(C)$ là giao tuyến của mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z-3=0$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-7=0$. Biết rằng có $3$ điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho $MA+MB+MC$ lớn nhất. Tổng các hoành độ của $3$ điểm $M$ này bằng

Cho mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $S(I;R)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $R$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $I$ đến $(P)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=9$ và ba điểm $A(1;0;0);B(2;1;3);C(0;2;-3)$. Biết rằng quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn $M{A}^2+2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=8$ là một đường tròn cố định, tính diện tích của hình tròn này.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-3;-4)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-3{)}^2=8$ và hai điểm $A(4;4;3),B(1;1;1)$. Gọi $(C_1)$ là tập hợp các điểm $M\in (S)$ sao cho $|MA-2MB|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng $(C_1)$ là một đường tròn. Tính chu vi đường tròn $(C_1)$.