Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho có không quá $8$ số nguyên $x$ thỏa mãn ${\log }_2(4x+y)>2{\log }_2(x-2)$?

Điều kiện $x>2$. Bất phương trình tương đương $y>x^2-8x+4$. Xét $f(x)=x^2-8x+4$ trên $(2;+\infty )$, để có không quá $8$ giá trị nguyên của $x$ (tức $x\in \{3;4;\dots ;10\}$) thì $y\le f(10)=24$. Do $y$ nguyên dương nên $y\in \{1;2;\dots ;24\}$, có $24$ giá trị.